※本記事の内容は、入試問題の出題傾向や思考過程を理解することを目的とした教育的分析に基づく再構成であり、実際の問題文・会話文・資料・図表・選択肢等をそのまま引用・転載したものではありません。
1 統計的なものの見方に関する問題
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次の文章は、統計的なものの見方について述べたものである。本文を読み、設問に答えよ。
【本文】
私たちは「規則」や「法則」という語を聞くと、いつでも同じ条件なら同じ結果が起こる、と考えがちである。しかし、現実の現象は例外を含み、同じ条件を厳密にそろえることも難しい。そこで統計学では、個々の事象を完全に予測するのではなく、多数の観測結果をまとめて眺めたときに現れる安定した傾向に注目する。
このとき役に立つのが、ばらつきを含むデータから「全体のまとまり方」を読み取るための枠組みである。ここでいう枠組みは、単なる手順ではなく、何を同じとみなし、何を違いとして扱うかを決める“考え方の規則”である。本文ではこの“考え方の規則”を grammar と呼ぶ。
また、統計学が扱う「法則性」は、個々の結果を必ず当てるという意味ではない。むしろ、同じ条件を繰り返したときに結果の分布がどのように安定するか、あるいは、標本を増やしたときに推定がどのように確からしくなるか、といった形で現れる。本文で述べたような法則性の捉え方は、自然現象だけでなく社会の仕組みや歴史的制度の理解にも応用できる。
(1) 本文中の grammar の語義として最も適切なものを次から1つ選び、理由を60字以内で記述せよ。
ア 英語の文法
イ データの平均を求める計算方法
ウ 何を同じとみなし何を違いとして扱うかを決める考え方の規則
エ 必ず同じ結果が起こる自然法則
(2) 本文における「現象の法則性」の捉え方として最も適切なものを次から1つ選び、理由を80字以上100字以内で記述せよ。
ア 同じ条件なら個々の結果も必ず一致する
イ 多数回の観測や標本増加により分布や推定が安定する形で現れる
ウ 例外が存在しない関係のことをいう
エ 一度起こった事象は必ず同じ形で繰り返される
(3) 本文の「この原理」はどのような原理を指すと考えられるか。本文で述べた特徴（標本増加・推定の確からしさ・分布の安定）を踏まえ、80字以上100字以内で自分の考えを記述せよ。
(4) 太閤検地を実施した目的を、次の語をすべて用いて60字以内で記述せよ。
【語】数量／把握／支配
(5) 統計や統計学を、より良い社会を創るために活用する方法を1つ挙げ、自分の考えを記述せよ。
（例：防災、医療、教育、交通、福祉、環境、産業などから選んでもよい）
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2 球の積み上げと正四面体に関する問題
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半径の等しい球を、正四面体の形状になるよう互いに接するように積み上げる。段数をS、最下段の球の数をN、球の総数をTとする。
【注意】球は各段が正三角形状に並ぶとし、上の段は下の段の球のすき間に収まるように置く。
2-1
(1) $$S=10$$ のとき、N、Tの値を答えよ。
(2) 20以下の自然数のうち、素数であるものをすべて答えよ。
(3) $$2024$$ を素因数分解し、$$6\times2024$$ を「連続する3つの自然数の積」の形にしたとき、最も小さい自然数を答えよ。
(4) $$S=n$$（自然数）のときのN、Tを、nを用いて表し、考え方を記述せよ。
2-2
正四面体の内部に、半径rの球を、正四面体の形状かつ正四面体の各面に球が接するように積み上げる。
(1) 正四面体の1辺の長さがaのとき、正四面体の体積をVとする。Vをaを用いて表せ。
(2) 正四面体の1辺の長さがa、$$S=4$$ のとき、正四面体の内部にあり、かつ球の外側に
ある隙間部分の体積をDとする。
ただし、球は正四面体の各面に接し、最下段の球は底面に接して配置され、
球どうしの重なりはなく、すべて正四面体の内部に完全に含まれているものとする。
Dをa、rを用いて表せ。
(3) $$S=n$$ のとき、球を正三角形の隙間に最密に積み上げたとする。
最下段の球の最も低い点から、最上段の球の最も高い点までの高さをhとする。
hをn、rを用いて表せ。
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3 水の密度と軽水・重水に関する問題
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次の文章は、水の密度の温度変化と軽水・重水に関する説明である。本文を読み、設問に答えよ。
【本文】
水は温度によって密度が変化する。特に、液体の水はおよそ4℃付近で密度が最大となり、0℃に近づくと密度が小さくなる。また、0℃で液体の水が氷になると体積が増える。この性質は、氷が水に浮くこと、海に浮かぶ氷山の多くが海面下に隠れることなどにつながる。
さらに、水分子には質量の異なる種類がある。たとえば、通常の水（軽水）は主に軽い同位体を含むが、重い同位体を含む水分子（重水を含む水分子）もわずかに存在する。蒸発や凝結の過程では、軽い分子の方が移動しやすいなどの理由で、相（気体・液体・固体）によって含まれる割合が変化しうる。このような違いは、降水の起源や気候変動の推定にも利用される。
(1) 0℃の水が0℃の氷になるときの体積の膨張率を答えよ。
（膨張率＝増加した体積／変化前の体積）
【データ】0℃の水100.0 mLは、0℃の氷になると109.0 mLになった。
(2) 海に浮かぶ氷山について、海面上に出ている体積の割合（体積率）を答えよ。
【データ】海水の密度 $$\rho_s=1.03$$（水=1.00を基準）、氷の密度 $$\rho_i=0.92$$（同じ基準）
(3) 水蒸気中と海水中では、重い水分子と軽い水分子の割合が異なる。水蒸気中と海水中のどちらに重い水分子の割合が小さくなるかを答え、考え方を記述せよ。
(4) 内陸部の降水と沿岸部の降水を比べる。重い水分子の割合が大きい方を答え、考え方を記述せよ。
(5) 氷河期と現代を比べる。海水中に含まれる重い水分子の割合はどのように変化すると考えられるか。考え方を記述せよ。
（ヒント：氷として地表に残る水は、どのような分子を相対的に多く含みやすいか。）
(6) 0℃の軽水に、「重水のみを凍らせた0℃の氷」を入れる。その後、どのような変化が起こると考えられるか。密度、融解、拡散（混ざり方）の観点から、根拠を示しながら答えよ。
（必要なら、重水は軽水より密度が大きいことを用いてよい。）
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【ここまで】
数式部分が文字化けしていますが、御愛嬌ということで